实变函数

实变函数

7.必要性：由fn（x）=>f(x),对于∀σ>0,

g（x）=f（x）a.e.于E：∃E0⊂E，在E0上g（x）=f（x），且设E‘=（E-E0），mE’=0，于是

对于∀σ，

故fn（x）=>g(x)

8.逆命题成立，|f(x)|=f+(x)+f-(x),f(x)=f+(x)-f-(x)

f+和f-分别为f(x)的正部和负部

|f(x)|可积，则

∫[f+(x)+f-(x)]dx<+∞，故∫f+(x)dx<+∞且∫f-(x)dx<+∞

由于正部负部积分均有限，根据可积定义

知f（x）可积

9.使f（x）无限的x构成的集合为：

设En=

由于f（x）可积，有|f(x)|可积，故有对于∀n：

因此对∀n：

所以

运用定理

得：

所以f（x）有限a.e.于E