长方形ABCD，AB＝22，BC=1，以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程：（2）过点p（0，2）的直线m与（1）中椭圆只有一个公共点，求直线m的方程：（3）过点p（0，2）的直线l交（1）中椭圆与M，N两点，是否存在直线l，使得以弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，直线l的方程；若不存在，说明理由．

长方形ABCD，AB＝22，BC=1，以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程：（2）过点p（0，2）的直线m与（1）中椭圆只有一个公共点，求直线m的方程：（3）过点p（0，2）的直线l交（1）中椭圆与M，N两点，是否存在直线l，使得以弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，直线l的方程；若不存在，说明理由．

（1）由题意可得点A，B，C的坐标分别为（-

2，0），（2，0），（2，1）．

设椭圆的标准方程是x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）．

则2a=AC+BC，

即2a=(22)2+1+1=4＞22，所以a=2．

所以b2=a2-c2=4-2=2．

所以椭圆的标准方程是x24+y22=1．

（2）设直线m的方程为y=kx+2，

由y＝kx+2x24+y22＝1，得（2k2+1）x2+8kx+4=0，

∵直线m与椭圆只有一个公共点，

∴△=64k2-16（k2+1）=0，解得k=±33．

∴直线m的方程为y=33x，或y=-33x．

（3）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2．

由y＝kx+2x2+2y2＝4，得（1+2k2）x2+8kx+4=0．

因为M，N在椭圆上，

所以△=64k2-16（1+2k2）＞0．

设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．

则x1+x2=-8k1+2k2，x1x2=41+2k2，

若以MN为直径的圆恰好过原点，则OM⊥ON，

所以x1x2+y1y2=0，

所以，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，

即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，

所以，4(1+k2)1+2k2-16k21+2k2+4=0，即8−4k21+2k2=0，

得k2=2，k=±2．

经验证，此时△=48＞0．

所以直线l的方程为y=2x+2，或y=-2x+2．

即所求直线存在，其方程为y=2x+2，或y=-2x+2．