〔2016秋•XX期末〕如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=∠CBA=90°,PA=AB=BC=1,AD=2,E,F,G分别为BC,PD,PC的中点.〔1〕求EF与DG所成角的余弦值;〔2〕若M为EF上一点,N为DG上一点,是否存在MN,使得MN⊥平面PBC?若存在,求出点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.[考点]直线与平面垂直的判定;异面直线与其所成的角.

〔2016秋•XX期末〕如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=∠CBA=90°,PA=AB=BC=1,AD=2,E,F,G分别为BC,PD,PC的中点.〔1〕求EF与DG所成角的余弦值;〔2〕若M为EF上一点,N为DG上一点,是否存在MN,使得MN⊥平面PBC?若存在,求出点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.[考点]直线与平面垂直的判定;异面直线与其所成的角.

[分析]〔1〕以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出EF与DG所成角的余弦值.

〔2〕求出平面PBC的法向量,若存在MN,使得MN⊥平面PBC,则∥,由此利用向量法能求出结果.

[解答]解:〔1〕以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,

则A〔0,0,0〕,B〔1,0,0〕,C〔1,1,0〕,D〔0,2,0〕,P〔0,0,1〕,

∵E、F、G分别为BC、PD、PC的中点,

∴,F〔0,1,〕,

G〔〕,

∴=〔﹣1,〕,

=〔〕,

设EF与DG所成角为θ,

则cosθ==.

∴EF与DG所成角的余弦值为.

〔2〕设平面PBC的法向量为=〔x,y,z〕,

∵=〔0,1,0〕,=〔1,0,﹣1〕,

∴,取x=1,得=〔1,0,1〕,

M为EF上一点,N为DG上一点,

若存在MN,使得MN⊥平面PBC,则∥,

设M〔〕,N〔x2,y2,z2〕,则,①

∵点M,N分别是线段EF与DG上的点,

∴,

∵=〔〕,

=〔x2,y2﹣2,z2〕,

∴,且,②

把②代入①,得,解得,

∴M〔〕,N〔〕.

[点评]本题考查异面直线所成角的求法,考查满足条件的点的坐标的求法,是中档题,解题时要 认真审题,注意向量法的合理运用.