江苏高考数学试卷与答案

江苏高考数学试卷与答案

2008年普通高校招生全国统一考试（卷）

数学

1.的最小正周期为，其中，则▲。

【解读】本小题考查三角函数的周期公式。

答案10

2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为▲。

【解读】本小题考查古典概型。基本事件共个，点数和为4的有、、共3个，故。

答案

3.表示为，则=▲。

【解读】本小题考查复数的除法运算，因此=1。

答案1

4.则的元素个数为▲。

【解读】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由得

因为，所以，因此，元素的个数为0。

答案0

5.的夹角为，则▲。

【解读】本小题考查向量的线形运算。

因为，所以=49。

因此7。

答案7

6.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为▲。

【解读】本小题考查古典概型。如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的部（含边界），区域E表示单位圆及其部，因此。

答案

7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。

序号（i）分组（睡眠时间）组中值（）频数（人数）频率（）1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9)8.540.08

在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是▲。

【解读】本小题考查统计与算法知识。

答案6.42

8.直线是曲线的一条切线，则实数▲。

【解读】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。令得，故切点为，代入直线方程，得，所以。

答案

9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：▲。

【解读】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想。

事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程。

答案。

10.将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为▲。

【解读】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前行共用了个数，因此第行从左向右的第3个数是全体正整数中的第个，即为。

答案

11.的最小值为▲。

【解读】本小题考查二元基本不等式的运用。由得，代入得，当且仅当时取“=”。

答案3。

12.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=▲。

【解读】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线互相垂直，又，所以是等腰直角三角形，故，解得。

答案

13.若，则的最大值▲。

【解读】本小题考查三角形面积公式及函数思想。

因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为轴，其中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，由可得，化简得，即C在以（3，0）为圆心，为半径的圆上运动。又。

答案

14.对于总有成立，则=▲。

【解读】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。

要使恒成立，只要在上恒成立。

当时，所以，不符合题意，舍去。

当时，即单调递减，舍去。

当时

1若时在和上单调递增，

在上单调递减。

所以

2当时在上单调递减，

不符合题意，舍去。综上可知a=4.

答案4。

15.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为。

（1）

求的值；（2）求的值。

【解读】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得，为锐角，

故。同理可得，

因此。

（1）。

（2），

从而。

16．在四面体ABCD中，CB=CD，且E，F分别是AB，BD的中点，

求证（I）直线；

（II）。

证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点

（II）

又，

所以

17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。

（I）按下列要求写出函数关系式：

1设，将表示成的函数关系式；

2设，将表示成的函数关系式。

（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

【解读】本小题考查函数最值的应用。

（I）①由条件可知PQ垂直平分AB，则

故，又，所以

②，则，所以，

所以所求的函数关系式为。

（II）选择函数模型①。

令得，又，所以。

当时，是的减函数；时，是的增函数。

所以当时。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。

18.设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。

（1）数的取值围；

（2）求圆的方程；

（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）你的结论。

【解读】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。

（1）

（2）设所求圆的方程为。

令得

又时，从而。

所以圆的方程为。

（3）整理为，过曲线

与的交点，即过定点与。

19.（I）设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

1当时，求的数值；②求的所有可能值；

（II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。

【解读】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。

（I）①当时，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则。

若删去，则有，即，化简得；

若删去，则有，即，化简得。

综上可知。

2当时，中同样不可能删去首项或末项。

若删去，则有，即，化简得；

若删去，则有，即，化简得，舍去；

若删去，则有，即，化简得。

当时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项和末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去，也有，这与矛盾；若删去中的任意一个，则必有，这与矛盾。综上可知。

（3）略

20.若为常数，且

(I)求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；

(II)设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。

【解读】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。

（I）恒成立

若，则，显然成立；若，记

当时，

所以，故只需；

当时，

所以，故只需。

（II）如果，则的图象关于直线对称，

因为，所以区间关于直线对称。

因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为。

如果，结论的直观性很强。