如图,抛物线y=mx²-2mx-3m(m＞0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.

如图,抛物线y=mx²-2mx-3m(m＞0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.

（1）将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到顶点M的坐标；抛物线的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐标．

（2）易求得C点坐标，即可得到OC的长，以AB为底，OC为高，即可求出△ABC的面积；△BCM的面积无法直接求得，可用割补法求解，过M作MD⊥x轴于D，根据B、C、M四点坐标，可分别求出梯形OCMD、△BDM的面积，它们的面积和减去△BOC的面积即为△BCM的面积，进而可得到△ABC、△BCM的面积比．

（3）首先根据B、C、M的坐标，求出BC2、BM2、CM2的值，由于△BCM中，B、C、M都有可能是直角顶点，所以要分三种情况讨论：①∠BCM=90°，②∠BMC=90°，③∠MBC=90°，在上述三种不同的直角三角形中，利用勾股定理可求得m的值，进而可确定抛物线的解析式．解答：解：（1）∵y=mx2-2mx-3m=m（x2-2x-3）=m（x-1）2-4m，

∴抛物线顶点M的坐标为（1，-4m）；（2分）

∵抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，

∴当y=0时，mx2-2mx-3m=0，

∵m＞0，

∴x2-2x-3=0；

解得x1=-1，x2=3，

∴A、B两点的坐标为（-1，0）、（3，0）．（4分）

（2）当x=0时，y=-3m，

∴点C的坐标为（0，-3m）．

∴

（5分）

过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=1，BD=OB-OD=2，

MD=|-4m|=4m．工尝遁妒墚德蛾泉阀沪

∴S△BCM=S△BDM+S梯形OCMD-S△OBC

=

=

=3m．（7分）∴S△BCM：S△ABC=1：2．（8分）

（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线；

过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为Rt△，CN=OD=1，DN=OC=3m，

∴MN=DM-DN=m．

∴CM2=CN2+MN2=1+m2；

在Rt△OBC中，BC2=OB2+OC2=9+9m2，

在Rt△BDM中，BM2=BD2+DM2=4+16m2；

①如果△BCM是Rt△，且∠BMC=90°，那么CM2+BM2=BC2，

即1+m2+4+16m2=9+9m2，

解得

，

∵

∴存在抛物线y=

x2-

x-

使得△BCM是Rt△；（10分）

②如果△BCM是Rt△，且∠BCM=90°，那么BC2+CM2=BM2，

即9+9m2+1+m2=4+16m2，

解得m=±1，

∵m＞0，

∴m=1；

∴存在抛物线y=x2-2x-3，使得△BCM是Rt△；

③如果△BCM是Rt△，且∠CBM=90°，那么BC2+BM2=CM2，

即9+9m2+4+16m2=1+m2，整理得

，此方程无解；

∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在；

综上所述，存在抛物线y=

x2-

x-

和y=x2-2x-3，使得△BCM是Rt△．（12分）

(1)y=mx²-2mx-3m=m(x²-2x-3)=m(x-1)²-4m，

顶点坐标

M(1，-4m)

(2)令y=0，求得A(-1，0)，B(3，0)，令x=0，求得C(0，-3m)

∴BC=3√(m²+1)，BM=2√(4m²+1)，CM=√(m²+1)，AB工尝遁妒墚德蛾泉阀沪=4，OC=3m。

直线BC方程：y+3m=mx，M到BC距离MD=2m/√(m²+1)

∴S△BCM=1/2*BC*MD=1/2*3√(m²+1)*2m/√(m²+1)=3m

S△ABC=1/2*AB*OC=1/2*4*3m=6m

S△BCM：S△ABC=3m/6m=1/2

(3)①设△BCM为以BM为斜边的Rt△，有CM²+BC²=BM²，

即(m²+1)+9(m²+1)=4(4m²+1)，解得m=±1，∵m＞0，∴m=1，

此时y=x²-2x-3，使得△BCM为Rt△；

②设△BCM为以BC为斜边的Rt△，有CM²+BM²=BC²，

即(m²+1)+4(4m²+1)=9(m²+1)，解得m=±1/2，∵m＞0，∴m=1/2

此时y=1/2x²-x*3，使得△BCM为Rt△；

③设△BCM为以CM为斜边的Rt△，有BC²+BM²=CM²，

即(m²+1)=4(4m²+1)+9(m²+1)，无解，此时△BCM不可能为Rt△。