圆锥曲线的参数方程(1)椭圆+=1的参数方程为(θ为参数).(2)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为(t为参数).热点一 极坐标与直角坐标的互化例1 在以O为极点的极坐标系中,直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ+)=3和ρsin2θ=8cos θ,直线l与曲线C交于点A、B,则线段AB的长为________.

圆锥曲线的参数方程(1)椭圆+=1的参数方程为(θ为参数).(2)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为(t为参数).热点一 极坐标与直角坐标的互化例1 在以O为极点的极坐标系中,直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ+)=3和ρsin2θ=8cos θ,直线l与曲线C交于点A、B,则线段AB的长为________.

答案 16

解析 ∵ρcos(θ+)=ρcos θcos-ρsin θsin

=ρcos θ-ρsin θ

=3,

∴直线l对应的直角坐标方程为x-y=6.

又∵ρsin2θ=8cos θ,

∴ρ2sin2θ=8ρcos θ.

∴曲线C对应的直角坐标方程是y2=8x.

解方程组,

得或,

所以A(2,-4),B(18,12),

所以AB==16.

即线段AB的长为16.

思维升华 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.

(2)在与曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,要注意转化的等价性.

(1)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ0)的一个交点在极轴上,则a=________.

答案 (1)(,)(填(-,)亦可) (2)

解析 (1)ρ=2sin θ代入ρcos θ=1、可得2sin θcos θ=1、,即2θ=或2θ=,解得或

又(,)与(-,)为同一点,故二者可以任填一个.

(2)ρ(cos θ+sin θ)=1,

即ρcos θ+ρsin θ=1对应的普通方程为x+y1、=0,

ρ=a(a>0)对应的普通方程为x2+y2=a2.

在x+y1、=0中,令y=0,得x=.

将代入x2+y2=a2得a=.

热点二 参数方程与普通方程的互化

例2 已知直线l的参数方程为(t为参数),P是椭圆+y2=1上的任意一点,则点P到直线l的距离的最大值为________.

答案

解析 由于直线l的参数方程为(t为参数),

故直线l的普通方程为x+2y=0.

因为P为椭圆+y2=1上的任意一点,

故可设P(2cos θ,sin θ),其中θ∈R.

因此点P到直线l的距离是d=

=.

所以当θ=kπ+,k∈Z时,d取得最大值.

思维升华 参数方程化为普通方程,主要用“消元法”消参,常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等.在参数方程化为普通方程时,要注意保持同解变形.

(2013·广东)已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为________.

答案 ρcos θ+ρsin θ-2=0

解析 由(t为参数),得曲线C的普通方程为x2+y2=2.则在点(1,1)处的切线l的方程为y1、=-(x1、),即x+y-2=0.又x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴l的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-2=0.

热点三 极坐标与参数方程的综合应用

例3 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).

M是C1上的动点,P点满足=2,点P的轨迹为曲线C2.

(1)C2的参数方程为________;

(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,则|AB|=________.

答案 (1) (α为参数) (2)2

解析 (1)设P(x,y),则由条件知M.由于M点在C1上,

所以即

从而C2的参数方程为(α为参数)

(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ.

射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin,

射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin.

所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.

思维升华 (1)曲线参数方程有很多优点:

①曲线上任一点坐标都可用一个参数表示,变元只有一个.特别对于圆、椭圆、双曲线有很大用处.

②很多参数都有实际意义,解决问题更方便.比如:

直线参数方程(α为倾斜角,t为参数),其中|t|=|PM|,P(x,y)为动点,M(x,y)为定点.

(2)求两点间距离时,用极坐标也比较方便,这两点与原点共线时,距离为|ρ1-ρ2|,这两点与原点不共线时,用余弦定理求解.无论哪种情形,用数形结合的方法易得解题思路.

(1)(2013·湖北)在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为(φ为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ+)=m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为________.

答案

解析 椭圆C的标准方程为+=1,直线l的标准方程为x+y=m,圆O的方程为x2+y2=b2,

由题意知,

∴a2-b2=2b2,a2=3b2,

∴e====.

(2)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的参数方程为(φ为参数),曲线C2的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=1,若曲线C1与C2相交于A、B两点.

①|AB|的值为________;

②点M(1、,2)到A、B两点的距离之积为________.

答案 ① ②2

解析 ①由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为y=x2(x≠0),

由曲线C2的极坐标方程可得曲线C2的直角坐标方程为x+y1、=0,则曲线C2的参数方程为(t为参数),将其代入曲线C1的普通方程得t2+t-2=0,

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,

则t1+t2=-,t1t2=-2,

所以|AB|=|t1-t2|

==.

②由①可得|MA|·|MB|=|t1t2|=2.

1.主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化,在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题.

2.规律方法

方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题,将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程,有助于对方程所表示的曲线的认识,从而达到化陌生为熟悉的

目的,这是化归与转化思想的应用.在涉及圆、椭圆的有关最值问题时,若能将动点的坐标用参数表示出来,借助相应的参数方程,可以有效地简化运算,从而提高解题的速度.

3.极坐标方程与普通方程互化核心公式

,.

4.过点A(ρ,θ) 倾斜角为α的直线方程为ρ=.特别地,①过点A(a,0),垂直于极轴的直线l的极坐标方程为ρcos θ=a.②平行于极轴且过点A(b,)的直线l的极坐标方程为ρsin θ=b.

5.圆心在点A(ρ,θ),半径为r的圆的方程为r2=ρ2+ρ2、cos(θ-θ).

6.重点掌握直线的参数方程(t为参数),理解参数t的几何意义.

真题感悟

1.(2014·陕西)在极坐标系中,点(2,)到直线ρsin(θ-)=1的距离是________.

答案 1

解析 点(2,)化为直角坐标为(,1),直线ρsin(θ-)=1化为ρ(sin θ-cos θ)=1,

y-x=1, x-y+1=0,点(,1)到直线x-y+1=0的距离为=1.

2.(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,线段AB的长为________.

答案 8

解析 将直线l的参数方程

代入抛物线方程y2=4x,

得2=4,

解得t1=0,t2=-8.

所以AB=|t1-t2|=8.

押题精练

1.在直角坐标系中圆C的参数方程为(α为参数),若以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆C的极坐标方程为__________.

答案 ρ=4sin θ

解析 由参数方程消去α得圆C的方程为x2+(y-2)2=4,将x=ρcos θ,y=ρsin θ,

代入得(ρcos θ)2+(ρsin θ-2)2=4,整理得ρ=4sin θ.

2.已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处,极轴与x轴的正半轴重合,且长度单位相同.直线l的极坐标方程为ρ=,点P(1+cos α,sin α),参数α∈[0,2π).

(1)点P轨迹的直角坐标方程为________;

(2)点P到直线l距离的最小值为________.

答案 (1)(x1、)2+y2=1 (2)41、

解析 (1)由

得点P的轨迹方程(x1、)2+y2=1.

(2)由ρ=,得ρ=,

∴ρsin θ+ρcos θ=9.

∴曲线C的直角坐标方程为x+y=9.

圆(x1、)2+y2=1的圆心(1,0)到直线x+y=9的距离为4,

所以|PQ|min=41、.

(推荐时间:40分钟)

1.(2014·安徽改编)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l被圆C截得的弦长为________.

答案 2

解析 直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是y=x-4,圆C的极坐标方程ρ=4cos θ化为直角坐标方程是x2+y24、=.又圆C的半径r=2,因此直线l被圆C截得的弦长为2=2.

2.圆心为C(3,),半径为3的圆的极坐标方程为________.

答案 ρ=6cos(θ-)

解析 设极点为O,M(ρ,θ)为圆上任意一点,过OC的直线与圆交于另一点O′,直角三角形OMO′中,ρ=6cos|θ-|,即ρ=6cos(θ-).

3.已知点M的极坐标为(6,),则点M关于y轴对称的点的直角坐标为________.

答案 (-3,-3)

解析 点M的直角坐标为x=ρcos θ=6cosπ=3,y=ρsin θ=6sinπ=-3.

即M(3,-3),所以它关于y轴对称的点为(-3,-3).

4.直线ρcos θ=2关于直线θ=对称的直线的极坐标方程为________.

答案 ρsin θ=2

解析 直线ρcos θ=2的直角坐标方程为x=2,

直线θ=的直角坐标方程为y=x,

所以所求的直线方程为y=2.

其极坐标方程为ρsin θ=2.

5.若直线的参数方程为(t为参数),则直线的倾斜角为________.

答案 150°

解析 由直线的参数方程知,斜率k===-=tan θ,θ为直线的倾斜角,所以该直线的倾斜角为150°.

6.将参数方程(0≤t≤5)化为普通方程为________________.

答案 x-3y-5=0,x∈[2,77]

解析 化为普通方程为x=3(y+1)+2,

即x-3y-5=0,

由于x=3t2+2∈[2,77],

故曲线为线段.