【中考·泰安】如图，在△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD.求证：△ECG≌△GHD；小亮同学经过探究发现：AD＝AC＋EC.请你帮助小亮同学证明这一结论；(3)若∠B＝30°，判断四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．

【中考·泰安】如图，在△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD.求证：△ECG≌△GHD；小亮同学经过探究发现：AD＝AC＋EC.请你帮助小亮同学证明这一结论；(3)若∠B＝30°，判断四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．

(1)证明：∵AF＝FG，∴∠FAG＝∠FGA.∵AG平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG，

∴∠CAG＝∠FGA，∴AC∥FG.

∵DE⊥AC，∴FG⊥DE，∵FG⊥BC，∴DE∥BC，

∴AC⊥BC，∠CGE＝∠GED，∴∠C＝∠DHG＝90°，

∵F是AD的中点，

FH∥AE，∴H是ED的中点，

∴FG是线段ED的垂直平分线，

∴GE＝DG，∠GDE＝∠GED，

∴∠CGE＝∠HDG，∴△ECG≌△GHD.

(2)证明：如图，过点G作GP⊥AB于P.

∵AG平分∠CAB，由(1)知∠C＝90°，

∴GC＝GP，

∵AG＝AG，∴Rt△CAG≌Rt△PAG，∴AC＝AP.

∵△ECG≌△GHD，∴EG＝DG，

∴Rt△ECG≌Rt△DPG，

∴EC＝PD，∴AD＝AP＋PD＝AC＋EC.

(3)四边形AEGF是菱形．

理由：∵∠B＝30°，由(1)知DE∥BC，∴∠ADE＝30°，

∵DE⊥AC，∴AE＝AD，∵F是AD的中点，∴AF＝AD，

∴AE＝AF，∵AF＝FG，∴AE＝FG.

由(1)得AE∥FG，

∴四边形AEGF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形．